2020年重庆自考00445中外教育管理史复习资料（9）

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        6、齐次方程组有非零解的判定

        1）设A是m×n矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n，亦即A的列向量线性相关。

        2）若A为n阶矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是│A│＝0

        3）Ax＝0有非零解的充分条件是m＜n，即方程个数＜未知数个数

        7、非齐次线性方程组有解的判定

        1）设A是m×n矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）

        2）设A是m×n矩阵，方程组Ax＝b

        ①有唯一解<==>r（A）＝r（A增）＝n

        ②有无穷多解<==>r（A）＝r（A增）

        ③无解<==>r（A）+1=r（A增）

        8、非齐次线性方程组解的结构

        如n元线性方程组Ax＝b有解，设，η2，…，ηt是相应齐次方程组Ax＝0的基础解系，ξ是Ax＝b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。

        1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，则ξ1-ξ2是Ax＝0的解

        2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，则ξ+kη仍是Ax＝b的解

        3）若Ax＝b有唯一解，则Ax＝0只有零解；反之，当Ax＝0只有零解时，Ax＝b没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）

        四、题型及解题思路

        1、有关n维向量概念与性质的命题

        2、向量的加法与数乘运算

        3、线性相关与线性无关的证明

        1）定义法

        设k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！）

        ①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A

        ②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。

        2）用秩（等于向量个数）

        3）齐次方程组只有零解

        4）反证法

        4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

        多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。

        5、求矩阵的秩

        常用初等变换法。

        6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组

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