2020年重庆自考00445中外教育管理史复习资料（5）

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        一、重点

        1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。

        2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。

        3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。

        二、难点

        线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

        三、重点难点解析

        1、n维向量的概念与运算

        1）概念

        2）运算

        若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T

        ①加法：α＋β＝（a1+b1，a2+b2，…，an+bn）T

        ②数乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T

        ③内积：（α。β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα

        2、线性组合与线性表出

        3、线性相关与线性无关

        1）概念

        2）线性相关与线性无关的充要条件

        ①线性相关

        α1，α2，…，αs线性相关

        <==>齐次方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有非零解

        <==>向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＜s（向量的个数）

        <==>存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1个向量线性表出

        特别的：n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│＝0

        n+1个n维向量一定线性相关

        ②线性无关

        α1，α2，…，αs线性无关

        <==>齐次方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解

        <==>向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＝s（向量的个数）

        <==>每一个向量αi（i=1，2，…，s）都不能用其余s-1个向量线性表出

        ③重要结论

        A、阶梯形向量组一定线性无关

        B、若α1，α2，…，αs线性无关，则它的任一个部分组αi1，αi2，…，αi t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。

        C、两两正交，非零的向量组必线性无关。

        4、向量组的秩与矩阵的秩

        1）极大线性无关组的概念

        2）向量组的秩

        3）矩阵的秩

        ①r（A）＝r（AT）

        ②r（A+B）≤r（A）＋r（B）

        ③r（kA）＝r（A），k≠0

        ④r（AB）≤min（r（A），r（B））

        ⑤如A可逆，则r（AB）＝r（B）；如B可逆，则r（AB）＝r（A）

        ⑥A是m×n阵，B是n×p阵，如AB＝0，则r（A）＋r（B）≤n

        4）向量组的秩与矩阵的秩的关系

        ①r（A）＝A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）

        ②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

        ③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

        5、基础解系的概念及求法

        1）概念

        2）求法

        对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r（A）个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n-r（A）个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。

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