2018年重庆成人高考高起点《数学(文)》三个“二次”及关系”提分练习题

　　三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.

　　●歼灭难点训练

　　一、选择题

　　1.()若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )

　　A.(-∞,2 B. -2,2 C.(-2,2 D.(-∞,-2)

　　2.()设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( )

　　A.正数 B.负数

　　C.非负数 D.正数、负数和零都有可能

　　二、填空题

　　3.()已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在区间[-1，1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________.

　　4.()二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)

　　三、解答题

　　5.()已知实数t满足关系式 (a>0且a≠1)

　　(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式;

　　(2)若x∈(0,2 时，y有最小值8，求a和x的值.

　　6.()如果二次函数y=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

　　7.()二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足 =0,其中m>0,求证：

　　(1)pf( )<0;

　　(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

　　8.()一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=500+30x元.

　　(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元?

　　(2)当月产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少元?

　　参考答案

　　难点磁场

　　解：由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- ≤a≤2

　　(1)当- ≤a<1时，原方程化为：x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a- )2+ .

　　∴a=- 时，xmin= ,a= 时，xmax= .

　　∴ ≤x≤ .

　　(2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+ )2- ∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12.

　　综上所述, ≤x≤12.

　　歼灭难点训练

　　一、1.解析：当a-2=0即a=2时,不等式为-4<0,恒成立.∴a=2,当a-2≠0时，则a满足 ,解得-2

　　答案：C

　　2.解析：∵f(x)=x2-x+a的对称轴为x= ,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),

　　∴m-1<0,∴f(m-1)>0.

　　答案：A

　　二、3.解析：只需f(1)=-2p2-3p+9>0或f(-1)=-2p2+p+1>0即-3

　　答案：(-3， )

　　4.解析：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，

　　∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2

　　答案：-2

　　三、5.解：(1)由loga 得logat-3=logty-3logta

　　由t=ax知x=logat，代入上式得x-3= ,

　　∴logay=x2-3x+3，即y=a (x≠0).

　　(2)令u=x2-3x+3=(x- )2+ (x≠0),则y=au

　　①若0

　　则u=(x- )2+ 在(0，2 上应有最大值，但u在(0，2 上不存在最大值.

　　②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x- )2+ ,x∈(0,2 应有最小值

　　∴当x= 时，umin= ,ymin= 由 =8得a=16.∴所求a=16,x= .

　　6.解：∵f(0)=1>0

　　(1)当m<0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.

　　(2)当m>0时，则 解得0

　　综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

　　7.证明：(1) ,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf( )<0.

　　(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r

　　①当p<0时，由(1)知f( )<0

　　若r>0,则f(0)>0,又f( )<0,所以f(x)=0在(0， )内有解;

　　若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(- )+r= >0,

　　又f( )<0,所以f(x)=0在( ,1)内有解.

　　②当p<0时同理可证.

　　8.解：(1)设该厂的月获利为y,依题意得

　　y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500

　　由y≥1300知-2x2+130x-500≥1300

　　∴x2-65x+900≤0，∴(x-20)(x-45)≤0，解得20≤x≤45

　　∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.

　　(2)由(1)知y=-2x2+130x-500=-2(x- )2+1612.5

　　∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，

　　∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.

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